4.2 Modelos Lineares Estacionários para Séries Temporais onde a variável aleatória é chamada de inovação porque representa a parte da variável observada que é imprevisível dados os valores passados. O modelo geral (4.4) assume que é a saída de um filtro linear que transforma as inovações passadas, ou seja, é um processo linear. Esta hipótese de linearidade é baseada no teorema da decomposição de Wolds (Wold 1938) que diz que qualquer processo de covariância estacionária discreta pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados, onde é puramente determinista e é um processo puramente indeterminista que pode ser escrito como linear soma do processo de inovação: onde é uma seqüência de variáveis aleatórias serialmente não correlacionadas com média zero e variância comum. A condição é necessária para a estacionariedade. A formulação (4.4) é uma reparametrização finita da representação infinita (4.5) - (4.6) com constante. Geralmente é escrito em termos do operador de defasagem definido por, que fornece uma expressão mais curta: onde os polinômios de operador de atraso e são chamados de polinômio e polinômio, respectivamente. Para evitar a redundância de parâmetros, assumimos que não há fatores comuns entre o e os componentes. Em seguida, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por modelos estacionários com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4.2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários calculados por meio do quantlet genarma: Figura 4.2: Séries temporais geradas por modelos Como esperado, ambas as séries temporais se movem em torno de um nível constante sem mudanças na variância devido à propriedade estacionária. Além disso, esse nível está próximo da média teórica do processo, e a distância de cada ponto a esse valor está muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra desvios locais da média do processo, o que é conhecido como o comportamento de reversão à média que caracteriza a série temporal estacionária. Vamos estudar com algum detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que captura as propriedades dinâmicas de um processo estacionário estocástico. Essa função depende das unidades de medida, então a medida usual do grau de linearidade entre as variáveis é o coeficiente de correlação. No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação na defasagem, denotado por, é definido como a correlação entre e: Assim, a função de autocorrelação (ACF) é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades do ACF são: Dada a propriedade de simetria (4.10), o ACF é geralmente representado por meio de um gráfico de barras nas defasagens não-negativas que é chamado de correlograma simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial (PACF). O coeficiente de autocorrelação parcial na defasagem mede a associação linear entre e ajustada para os efeitos dos valores intermediários. Portanto, é apenas o coeficiente no modelo de regressão linear: As propriedades do PACF são equivalentes às do ACF (4.8) - (4.10) e é fácil provar isso (Box e Jenkins 1976). Como o ACF, a função de autocorrelação parcial não depende das unidades de medida e é representada por meio de um gráfico de barras nas defasagens não-negativas que é chamado de correlograma parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramas. Além disso, pode-se mostrar que, para qualquer processo estacionário, ambas as funções, ACF e PACF, aproximam-se de zero, pois o atraso tende ao infinito. Os modelos nem sempre são processos estacionários, portanto é necessário primeiro determinar as condições de estacionariedade. Existem subclasses de modelos que possuem propriedades especiais, então vamos estudá-las separadamente. Assim, quando e, é um processo de ruído branco. quando, é um processo de ordem médio móvel puro. e quando é um processo autoregressivo puro de ordem. . 4.2.1 Processo de Ruído Branco O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis de média zero não correlacionadas com variância constante. É denotado por. Este processo é estacionário se sua variância é finita, desde que: verifica condições (4.1) - (4.3). Além disso, não é correlacionado ao longo do tempo, portanto, sua função de autocovariação é: A Figura 4.7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média zero e parâmetros e -0,7, respectivamente. O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados nos valores atuais. Por exemplo, se um choque positivo (ou negativo) afeta positivamente (ou negativamente) por um período de tempo que é maior quanto maior for o valor de. Quando, a série se move mais aproximadamente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, isto é, um choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivo em. O processo é sempre invertível e é estacionário quando o parâmetro do modelo é restrito a ficar na região. Para provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a forma de média móvel por substituição recursiva de (4.14): Figura 4.8: Correlogramas de população para processos Isto é, é uma soma ponderada de inovações passadas. Os pesos dependem do valor do parâmetro: quando, (ou), a influência de uma dada inovação aumenta (ou diminui) ao longo do tempo. Tomando as expectativas para (4.15), a fim de calcular a média do processo, obtemos: Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todos os valores de apenas se, nesse caso. Um problema semelhante aparece quando calculamos o segundo momento. A prova pode ser simplificada supondo que, isto é,. Então, a variância é: Novamente, a variância vai para infinito, exceto para, nesse caso. É fácil verificar se a média e a variância explodem quando essa condição não é válida. A função de autocovariância de um processo estacionário é Portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é: ou seja, o correlograma mostra um decaimento exponencial com valores positivos sempre se for positivo e com oscilações negativas positivas se for negativo (ver figura 4.8). Além disso, a taxa de decaimento diminui à medida que aumenta, portanto quanto maior o valor, maior a correlação dinâmica no processo. Finalmente, há um corte na função de autocorrelação parcial no primeiro atraso. Figura 4.9: Correlogramas populacionais para processos Pode-se mostrar que o processo geral (Box e Jenkins 1976): É estacionário somente se as raízes da equação característica do polinômio estiverem fora do círculo unitário. A média de um modelo estacionário é. É sempre invertível para quaisquer valores dos parâmetros. Seu ACF vai para zero exponencialmente quando as raízes são reais ou com flutuações de onda seno-cosseno quando são complexas. Seu PACF tem um ponto de corte na defasagem, ou seja,. correlogramas para modelos mais complexos, como o, podem ser vistos na figura 4.9. Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas assumem uma forma muito diferente quando as raízes são complexas (veja o primeiro par de gráficos da figura 4.9). 4.2.4 Modelo de média móvel autorregressivo O modelo de ordens médias móvel autorregressivo geral (ordem finita) é: considere o processo MA de ordem infinita definido por ytepsilonta (epsilon epsilon.), Onde a é uma constante e os epsilonts são i. i.d. N (0, v) variável aleatória. Qual é a melhor maneira de mostrar que é não-estacionário? Eu sei que preciso olhar para as raízes características do polinômio de características e então julgar se elas estão ou não fora do círculo unitário, mas qual é a melhor maneira de abordar esse problema Devo tentar reescrever o processo de ordem infinita MA como um processo de ordem finita AR ou é mais fácil de trabalhar o processo MA perguntou 19 de outubro 13 em 21: 11O que são autorregressivos estacionários (AR), média móvel (MA) e estacionária misto (ARMA ) processos Processo autorregressivo estacionário (AR) Processos autorregressivos estacionários (AR) possuem funções teóricas de autocorrelação (ACFs) que decaem em direção a zero, ao invés de serem cortadas para zero. Os coeficientes de autocorrelação podem alternar em sinal com freqüência ou mostrar um padrão semelhante a uma onda, mas em todos os casos, eles se afastam em direção a zero. Por outro lado, os processos de AR com ordem p têm funções teóricas de autocorrelação parcial (PACF) que são cortadas para zero após o atraso p. (O comprimento de desfasamento do pico PACF final é igual à ordem AR do processo, p.) Processo de média móvel (MA) Os ACFs teóricos de MA (média móvel) processam com ordem q cortam para zero após defasagem q, a ordem MA do processo. No entanto, seus PACFs teóricos decaem em direção a zero. (O comprimento de retardo do pico de ACF final é igual à ordem MA do processo, q.) Processo de mistura estacionária (ARMA) Os processos de mistura estacionária (ARMA) mostram uma mistura de características AR e MA. Tanto o ACF teórico quanto o PACF seguem em direção a zero. Copyright 2016 Minitab Inc. Todos os direitos reservados.
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